Практическая реализация принципа оптимальности в экономике

Задание № 1

двойственная оценка функционал временной ряд

Двойственные оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Выбор наилучшего решения предполагает наличие некоторого критерия оптимальности, позволяющего оценить эффективность принятых решений. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении, при этом в качестве критерия оптимальности могут выступать максимум прибыли, минимум себестоимости, минимум трудовых затрат и др. Если записать критерий оптимальности в виде математической функции , то эта функция называется целевой функцией (функция цели, функционал).

Любую задачу линейного программирования в стандартной форме можно записать в виде соотношений:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Ограничения (1.2) принято называть функциональными ограничениями, а условия неотрицательности переменных (1.3) - прямыми ограничениями. Если эту задачу назвать исходной (прямой), то ей можно поставить в соответствие двойственную задачу. Построение двойственной ЗЛП основано на следующих пяти правилах:

) если в исходной задаче надо найти максимум целевой функции, то в двойственной - минимум, и наоборот;

) коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат правые части системы ограничений исходной задачи в стандартной форме;

) матрицы коэффициентов левых частей систем функциональных ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными по отношению друг к другу;

) если функциональные ограничения исходной задачи в стандартной форме имеют вид неравенств типа £, то аналогичные ограничения двойственной задачи являются неравенствами типа ³, и наоборот;

) правыми частями системы функциональных ограничений двойственной задачи служат коэффициенты целевой функции исходной ЗЛП.

Таким образом, задача, двойственная по отношению к задаче (1.1) - (1.3), в стандартной форме имеет вид:

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Если рассматривать исходную ЗЛП (1.1) - (1.3) как задачу оптимального использования ресурсов предприятия, то можно дать следующую экономическую интерпретацию двойственной задачи. Пусть некоторая фирма обратилась к предприятию с предложением продать ее имеющиеся ресурсы, и встает проблема установления объективно обусловленных цен этих ресурсов. Если эти цены обозначить yi , то целевая функция (1.4) будет выражать интересы фирмы, покупающей ресурсы (наименьшая стоимость ресурсов), а функциональные ограничения (1.5) - интересы предприятия (стоимость ресурсов не менее стоимости продукции, которую можно из этих ресурсов выпустить). В связи с этой интерпретацией переменные двойственной задачи называются объективно обусловленными оценками или двойственными оценками (за рубежом принят термин «теневая цена»).

Слова «и наоборот» в первом и четвертом правилах построения двойственной задачи свидетельствует о том, что если в качестве исходной ЗЛП взять задачу (1.4) - (1.6), то построенная по тем же правилам двойственная задача будет иметь вид задачи (1.1) - (1.3). Таким образом, рассматриваемые задачи образуют пару взаимодвойственных задач. Следует оговориться, что здесь рассматриваются только так называемые симметричные взаимодвойственные задачи (ограничения обеих задач имеют вид неравенств).

Задание № 2

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси-Е» и «Дикси-В». Цены на акции: «Дикси-Е» - 5долл. за акцию; «Дикси-В» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси-Е» - 1,1 долл.; «Дикси-В» - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.